QSSS

定义

定义

线性相关

给定向量组:$a_{1},a_{2},\dots,a_{m}$,若存在不全为零的数 $k_{1},k_{2},\dots,k_{m}$ 使得 $k_{1}a_{1},k_{2}a_{2},\dots,k_{m}a_{m}=0$,则称向量组是线性相关的. (向量组内部至少存在一个向量可以用其余向量线性表示) $r(a_{1},a_{2},\dots,a_{m})<m$

线性无关

给定向量组:$a_{1},a_{2},\dots,a_{m}$,当且仅当 $k_{1}=k_{2}=\dots=k_{m}=0$ 才有 $k_{1}a_{1},k_{2}a_{2},\dots,k_{m}a_{m}=0$,则称向量组是线性无关的. (向量组内部任何一个向量都不可以用其余向量线性表示) $r(a_{1},a_{2},\dots,a_{m})=m$

例1. image.png

相关无关的推

image.png

证明第三点,当 $n为向量组的高度,m为向量组的宽度,已知 r(A)\leq n\leq m,当n<m时,r(A)<m,则根据$ [[#线性相关]] 得出,该向量组必定线性相关.

例2. \(\begin{align} & 设向量组a_{1},a_{2},a_{3}线性相关,向量组a_{2},a_{3},a_{4}线性无关,证明 \\ & 1.a_{1}能由a_{2},a_{3}线性表示;2.a_{4}不能被a_{1},a_{2},a_{3}线性表示 \\ & 证:1. 由 a_{2},a_{3},a_{4}线性无关 \implies a2,a_{3}线性无关 + a_{1},a_{2},a_{3}线性相关\implies a_{1}可以由a_{2},a_{3}线性表示 \\ & 2. 假设 a_{4}可由a_{1},a_{2},a_{3}线性表示 \\ & \ \ 由于 a_{1}能由a_{2},a_{3}表示 \implies a_{1},a_{2},a_{3}=a_{2},a_{3} \implies a_{4}可由a_{2},a_{3}线性表示 \\ & \ \ 又有 a_{2},a_{3},a_{4}线性无关 两者矛盾, \end{align}\)

极大线性无关 组

向量组中独立变量 若向量组内存在一个部分组,且满足

  1. 该部分组线性无关
  2. 原向量组中的任一向量都能由该部分线性表示 则称这部分组就是原向量组的一个极大无关组 image.png

求解无关组的步骤

  1. 将矩阵化为行最简型矩阵
  2. 令主元为独立向量,
  3. 将其余向量用独立向量表示