定义

行列式的定义:行数等于列数,边界有两条竖线的算式,结果为数字,英文缩写为D(Det)

$$D(det)=\left|\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 2& 4& 6\\ 3& 6& 9\end{array}\right|=1\ast 4\ast 9+2\ast 6\ast 3+3\ast 2\ast 6-3\ast 4\ast 4-2\ast 2\ast 9-1\ast 6\ast 6$$

三阶以内的行列式可以使用交叉相乘法

全排列与逆序数

排列不重复
全排列 = $n!$
逆序数 = $t(1,2,\dots ,n)=\mathrm{从}\mathrm{后}\mathrm{往}\mathrm{前}\mathrm{数},\mathrm{判}\mathrm{断}\mathrm{每}\mathrm{一}\mathrm{位}\mathrm{数}\mathrm{前}\mathrm{面}\mathrm{有}{k}_i\mathrm{数}\mathrm{比}\mathrm{它}\mathrm{大}=\sum _{i=1}^n{k}_i$ ,例: $t(321)=2+1=3$
一组排列若交换相邻的两个数,则奇偶性发生改变

$$\begin{array}{rl}& \mathrm{证}:\mathrm{设}\mathrm{有}t(a_1,a_2,a_n),\\ & \mathrm{任}\mathrm{取}{k}_n,k_{n-1},\mathrm{当}{k}_n>k_{n-1}\mathrm{时},\mathrm{交}\mathrm{换}{k}_n,k_{n-1},\mathrm{则}{k}_{n-1}+1,\mathrm{奇}\mathrm{偶}\mathrm{性}\mathrm{发}\mathrm{生}\mathrm{改}\mathrm{变}\\ & \mathrm{当}{k}_n<k_{n-1}\mathrm{时},k_n-1\mathrm{奇}\mathrm{偶}\mathrm{性}\mathrm{发}\mathrm{生}\mathrm{改}\mathrm{变}\end{array}$$

推论: 任意两个数对换,奇偶性发生改变

原始定义

$$a_{12}{a}_{21}{a}_{34}{a}_{43}=(-1{)}^{t(1234)+t(2143)=2}=1\ast a_{12}{a}_{21}{a}_{34}{a}_{43}$$

行列式的性质

以下所有性质对于行列通用

1. 转置值不变
2. 交换两行(列),其值反号
3. 行列式某行(列)乘以 $k$ 等于 $k$ 乘以原行列式
   1. 若某行(列)有公因数 $k$ 可以提出
   2. 若有两行(列)成比例 则 行列式为0 => 提出比例数 $k$ 则两行(列) 相同,此时交换两行其值反号 有 $D=-D⟹D=0$
4. 可拆性质 行列式可以拆成两个行列式相加的形式,除了被拆开的那一行其余的不变,一次只能拆一行
5. 倍加性质 将行列式某一行的 $k$ 倍加到另一行上,其值不变

计算方法: 打洞

• 将第一行第一列化为k,并使下面都为 0
• 将第二行第二列化为k,并使下面都为 0
• 反复 直到化为主对角行列式

行列式按行按列展开

余子式与代数余子式

余子式 $M_{ij}$ :选中某一个元素,删掉其所在的行和列,剩下的元素按照原来位置不变,再次构成 $n-1$ 阶行列式
代数余子式 $A_{ij}$ = $(-1{)}^{i+j}{M}_{ij}$

行列式 = 某一行(列)的元素与该行的元素的代数余子式对应相乘再相加

$$\mathrm{例}:D_n=\left|\begin{array}{ccc}{a}_{11}& \dots & a_{1n}\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{n1}& \dots & a_{nn}\end{array}\right|\mathrm{选}\mathrm{取}\mathrm{第}i\mathrm{行}\mathrm{展}\mathrm{开}=a_{i1}\ast A_{i1}+\cdots +a_{in}{A}_{in}$$

当某行(列)其中只有一个元素不为0时, $D_n=a_{ij}\ast A_{ij}$

INFO

${\mathbf{A}}_{\mathbf{i}\mathbf{j}}\mathbf{=}\mathbf{(}\mathbf{-}\mathbf{1}{\mathbf{)}}^{\mathbf{i}\mathbf{+}\mathbf{j}}{\mathbf{M}}_{\mathbf{i}\mathbf{j}}$

替换法则

已知一个具体的行列式

$$D=\left|\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 6& 7& 8\\ 4& 2& 1\end{array}\right|,\mathrm{求}5A_{21}+3A_{22}+4A_{23}=\left|\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 5& 3& 4\\ 4& 2& 1\end{array}\right|$$

推论

思路: 行列式两行(列)相同值为0

行列式的计算

行(列)和相等型

将其余行(列)加到第一列(行),则第一列(行)相等,提出公因数,第一列全部为1,将剩下的化为主对角型.

爪形

分块矩阵行列式

以下几种都是行列式展开

加边法

么字型

川子型

范德蒙德行列式